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一道上海初中生的数学题-致学教育

一道上海初中生的数学题

从小学到初中,好像反而更简单了

这道题来自虎扑的同名帖子:

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虽然感觉在公众号发这种题目不太合适,但毕竟是花时间算过,也参考过了别人的思路。好吧就是水了一期……

 

在继续往下看之前,如果你没做过这道题目,可以拿张草稿纸自己算一下,看能不能算出来,也许你能找到更好的思路,对吧?

 

#1 使用二项展开式 

 

虽然是笨办法,但确实是第一时间想到的思路:

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好的,恭喜你蒙对了答案吗?而且二项式系数初中生也不一定会,这就提示我们要利用之前的结果导出递推式:

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恭喜你,已经是个及格的初中生了!

 

#2 从通项到递推

 

可以看到,上面我们实际是从 a(n) 的通项公式出发,通过代数运算发现规律,从而导出了 a(n) 的递推式。有没有更快的方法,能一眼看出 a(n) 的递推式呢?其实是有的,回顾 Fibonacci 数列的通项公式的推导过程:

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现在再回头看 a(n),是不是一秒就能看出递推式了?显然 x 和 1/x 是(二次)特征方程的两个解,使用韦达定理,或者直接套 x + 1/x = -1,立刻得出特征方程为 x^2+x+1=0,故递推式为 a(n)+a(n-1)+a(n-2)=0,省去了一系列推导……

 

#3 取巧的做法

 

这也是虎扑论坛上最多人使用的方法:

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确实很简洁,但是是怎么想到的呢?

 

#4 复数

 

其实只要你尝试去解 x + 1/x = -1,就会发现这个方程是传统意义上无解的,这就使你开始思考复数的情形。而在复数的情况下,x + 1/x = -1 又该怎么解呢?

我们知道,复数可以表示为二位平面下的一个点 (x, y),也可以使用极坐标,表示为其模长和幅角 (r, θ)。从几何的角度,加法需要遵循平行四边形法则,也就是说,x, 1/x 和 (-1.0) 组成了一个三角形。

 

而由欧拉公式我们知道,如果 x 的幅角是 θ,则 1/x 的幅角就是 -θ,因此这是一个等腰三角形。而如果 x 的模长为 r,1/x 的模长就是 1/r,故 r=1/r => r = 1/r = 1,故这是一个等边三角形, x 和 1/x 也可以很快看出来,x^3 = 1 也就出来了


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